我想知道电机是怎么通过线圈带动齿轮旋转的?

从两个层面理解：
1. 电源使得电动机转子旋转。
旋转电动机一般需要通过电源的激励产生一个旋转磁场。
所以先决条件是具有一个旋转磁场，一般电动机定子绕组就是用来产生旋转磁场的。三相平衡电源相与相之间的电压在相位上相差120度，电动机定子中的三个绕组在空间方位上也互差120度，这样，当在定子绕组中通入三相电源时，定子绕组就会产生一个旋转磁场。电流每变化一个周期，旋转磁场在空间旋转一周，即旋转磁场的旋转速度与电流的变化是同步的。
（1）对于笼型异步电动机：定子绕组产生旋转磁场后，转子导条（鼠笼条）将切割旋转磁场的磁力线而产生感应电流，转子导条中的电流又与旋转磁场相互作用产生电磁力，电磁力产生的电磁转矩驱动转子沿旋转磁场方向旋转起来。一般情况下，电动机的实际转速低于旋转磁场的转速。因为假设若两者相等，则转子导条与旋转磁场就没有相对运动，就不会切割磁力线，也就不会产生电磁转矩，所以转子的转速必然小于磁场转速，二者之差为滑差。
（2）对于同步电动机：转子是由直流电励磁或是永磁励磁的，所以定子绕组产生旋转磁场后，转子将与旋转磁场同速旋转。
这是两种基本电动机的工作原理。
另外，反转可以通过调整相序完成，比如把三相电机u，v，w与电源接线由a，b，c调整为a，c，b即可。如果通过变频器驱动电机，直接下反转指令就行了。
其它更多信息可参考《电机拖动》、《电机控制》。

2. 齿轮等机械元件与电动机转子同轴连接，从而被带动旋转。这是依据机械传动的原理。