怎样计算线性热膨胀率

就碳钢瞬时线性热膨胀系数计算模型的建立为例：
当材料的温度由Tref(基准的参考温度)变化到T时，材料长度L的相对变化为：

(1)

根据密度ρ与L3成反比，可推导出εth与ρ间存在以下关系：

(2)

则瞬时线性热膨胀系数定义为：

(3)

由此可见，欲求出瞬时线性热膨胀系数，关键在于确定碳钢在不同温度下的密度值。
以〔C〕≤0.8 %的碳钢为研究对象，根据其冷却时凝固组织的特点(见图1)，按照碳含量分为以下4组：
Ⅰ.〔C〕＜0.09 %:
L→L+δ→δ→δ+γ→γ→α+γ→α+Fe3C
Ⅱ.〔C〕=0.09 %～0.16 %:
L→L+δ→δ+γ→γ→α+γ→α+Fe3C
Ⅲ.〔C〕=0.16 %～0.51 %:
L→L+δ→L+γ→γ→α+γ→α+Fe3C
Ⅳ.〔C〕=0.51 %～0.80 %:
L→L+γ→γ→α+γ→α+Fe3C
碳钢凝固组织为多相混合体系，其密度按照式(4)和式(5)确定，即：

(4)

f1+f2+…+fi=1 (5)

其中，fi为体系中组分i的质量分数，可利用相图，根据杠杆规则由程序计算确定。组分i(i为L、δ、γ、α或Fe3C)的密度为温度和碳含量的函数：ρ〔T，(i)〕=ρi(T，C)，其值取自文献〔6〕。
计算线性热膨胀系数时，选固相线温度为基准参考温度。热膨胀系数由固相线处的数值线性地降低到零强度温度(即固相分率fs=0.8对应的温度)处的零值，在零强度温度以上范围，热膨胀系数保持为零。这样，就可以避免液相区产生热应力。

图1 铁碳相图
Fig.1 Fe-C phase diagram

1.2 铸坯热—弹—塑性应力模型简介
利用有限元法，先计算铸坯温度场，然后将计算结果以热载荷的形式引入应力场。
1.2.1 铸坯温度场的计算
忽略拉坯方向传热，并根据对称性，取铸坯1/4断面薄片，其四边形4节点等参单元网格如图2所示。非稳态二维传热控制方程为：

图2 计算域及铸坯单元网格示意图

Fig.2 Simulation domain and FEM meshused for analysis

(6)

初始温度为浇铸温度，铸坯表面散热热流采用现场实测值：q=2 688-420 t1/2 kW/m2，ZX对称线处为绝热边界。模型中采用的热物理性能参数均随温度而变化，并且利用等效比热容c来考虑潜热的影响。另外，液相区对流效果通过适当放大液相区导热系数来实现。
1.2.2 铸坯应力场的计算
为利用温度场计算结果，采用与温度场一致的铸坯网格划分方法。体系中结晶器铜板为刚性接触边界，通过控制其运动轨迹(包括运动方向和速度)来表征结晶器锥度。若铸坯表面某个节点与铜板间距离小于规定的接触判据，则认为在此处发生接触，对该节点施加接触约束(避免节点穿越铜板表面)，否则按自由边界处理。
计算时将液、固区域作为一个整体，对高于液相线温度的材料的力学参数作特殊处理，使液相区应力状态保持均匀的静压力状态，且施加在外部的钢水静压力可基本保持原值地传递到固态坯壳内侧。根据对称性，应在ZX对称线上施加垂直方向的固定位移约束，但由于只关心坯壳的位移场，且坯壳厚度一般不会超过15 mm，所以只在距表面15 mm的范围内施加约束。超出15 mm的范围基本上为液相区，在其外边缘(对称线处)施加钢水静压力(压力值正比于离弯月面的距离)。
上述体系的力平衡方程为：

(7)

式中，〔K〕为系统的总刚矩阵；{δi}为节点位移列阵；{Rexter}为系统外力(钢水静压力和结晶器铜壁的接触反力)引起的等效节点载荷列阵；{Rε0}为热应变引起的等效节点载荷列阵。考虑包晶相变的影响，在计算{Rε0}时采用前面计算出的碳钢线性热膨胀系数曲线。
计算采用热—弹—塑性模型，假定铸坯断面处于广义平面应变状态，服从Mises屈服准则和等向强化规律，其硬化曲线为分段线性〔7〕。
2 计算结果及讨论
以碳含量为0.045 %、0.100 %和0.200 %的3种碳钢作为计算对象，采用相同的计算条件，即：铸坯断面尺寸为：150 mm×150 mm， 拉 坯 速 度1.5 m/min，浇铸温度1 550 ℃，结晶器长700 mm、锥度0.8 %，弯月面距结晶器上口距离100 mm。
2.1 3种碳钢的瞬时热膨胀系数
图3为计算出的碳钢的瞬时线性热膨胀系数曲线。可以看出：当〔C〕=0.045 %时，热膨胀系数在固相线温度以下区域突然变化。这是因为钢液凝固后发生初生的δ相→γ相的转变，并伴随有比容变化，使得热膨胀系数急剧上升；当〔C〕=0.100 %时，热膨胀系数从两相区开始发生突变。这是因为钢液凝固时，液相和δ相发生包晶反应，转变成γ相，剩余的δ相继续向γ相转变。转变过程中的比容变化也引起热膨胀系数的急剧上升。

图3 碳钢的瞬时线性热膨胀系数曲线
3条曲线中，非零值起始点为零强度温度对应点；
A、B、C为固相线温度对应点

Fig.3 Instant linear thermal expansion

coefficient of carbon steel
另外，〔C〕=0.045 %的δ相→γ相转变温度区间较窄，转变较快(见图1)，因此线性热膨胀系数突变值较大。相比之下，〔C〕=0.100 %的热膨胀系数突变值要小一些。虽然如此，但由于后者的相变温度区间较宽，其热膨胀系数突变的温度区间也较宽。由此可推断，〔C〕=0.100 %时发生的包晶相变对初生坯壳凝固收缩的影响将大于〔C〕=0.045 %时发生的δ相→γ相转变的影响。
〔C〕=0.200 %钢的热膨胀系数没有发生突变。这是因为，虽然也有包晶相变发生，但它只发生在某个温度水平上(约1 495 ℃)，故对热膨胀系数的影响很小。
2.2 铸坯表面收缩量
图4示出〔C〕=0.045 %、0.100 %和0.200 % 3种钢的铸坯表面收缩量沿拉坯方向和横断面方向的变化情况 ( 其中底部的空间斜平面为结晶器铜板

图4 铸坯表面收缩量
(a) 〔C〕=0.045 %； (b) 〔C〕=0.100 %； (c) 〔C〕=0.200 %
Fig.4 Surface shrinkage of billet

内壁面)。从图中可以看出：铸坯角部在凝固的初期就收缩并脱离结晶器铜板，而靠近中间处几乎始终与铜板接触(只有〔C〕=0.100 %的钢在靠近出口处才保持分离)。越靠近角部收缩脱离越早，收缩量也越大。
在钢水静压力作用下，收缩的坯壳会被压回结晶器铜板，从而使坯壳收缩发生波动〔收缩面曲面图呈犬牙状(见图4)〕。靠近弯月面区域坯壳较薄，波动现象较为明显。另外，越靠近角部波动也越明显。初生坯壳的这种收缩波动会导致应力集中，容易诱发裂纹等表面缺陷。
比较3种碳钢铸坯的表面收 缩 量 可 知：〔C〕=0.100 %钢的收缩Z显著，收缩波动Z大(弯月面区域)，且波动沿横断面方向扩展Z广；〔C〕=0.200 %钢的收缩量Z小。
2.3 弯月面区域角部初生坯壳收缩状况
图5示出3种碳钢的铸坯角部在靠近弯月面区域的收缩情况。可以看出：在离弯月面20 mm范围内，铸坯角部就脱离了结晶器铜板，其中〔C〕=0.045 %钢脱离Z早，这是因为该钢种的固相线温度Z高，Z早凝固形成坯壳；〔C〕=0.100 %钢在形成初生坯壳后发生强烈收缩，但在离弯月面50 mm处被增大的钢水静压力压回，然后又继续收缩。该钢种初生坯壳收缩Z显著，收缩波动也Z大，因此Z容易诱发铸坯表面缺陷；〔C〕=0.045 %钢的初生坯壳收缩量和收缩波动程度明显地降低；〔C〕=0.200 %钢的初生坯壳收缩量和收缩波动程度Z小。

图5 弯月面区域初生坯壳角部收缩量

Fig.5 Shrinkage of initial shell ofbillet corner at meniscus

3 结 论
(1)对于碳含量在0.1 %附近的包晶钢，其初生坯壳在结晶器上部和靠近角部区域的收缩很不规则，容易诱发铸坯表面缺陷。
(2)坯壳不规则收缩主要集中在弯月面下100 mm范围内。由此可知，结晶器上部的锥度并不适合坯壳收缩。因此，应通过优化结晶器锥度来提高拉坯速度。一个重要的指导原则是在结晶器上部采用较大锥度，以促使坯壳与铜板良好接触。