例析如何求解自由落体运动下落的高度

　　研究自由落体运动的规律，常用公式及推论有v=gt，h=½gt²，v²=2gh，对于其他初速度为零的匀加速直线运动，这些公式及推论均适用。现通过下面的例题，分析求解自由落体运动下落高度的解题方法与技巧。

　　例：某自由下落的物体在落地前Z后1s内下落25m，求此物体从离地面多高的地方开始下落?(g取10m/s²)

　　解一：利用匀变速直线运动的位移公式及速度公式先求速度和时间，设下落的总时间为(t+1)s，如图1所示，BC段为Z后1s内的位移，由x=v_Bt+½at²，得25=v_B×1+½×10×12，解出v_B=20m/s，代入v_B=gt有t=2s，故物体下落髙度为h_AC=½g(t+1)²=45m;

　　解二：利用自由落体运动的位移公式先求总时间，设下落的总时间为(t+1)s，如图1所示，有h_AB=½gt²，h_AC=½g(t+1)²，BC间的距离h_BC=h_AC-h_AB=25m，即½g(t+1)²-½gt²=25m，解得t=2s，故物体下落高度为h_AC=½g(t+1)²=45m;

　　解三：无需计算总时间，仅由自由落体运动的位移公式来求，依题意得t_AC-t_AB=1s，而t_AC=√(2h_AC/g)，t_AB=√[2(h_AC-25)/g]，则√(2h_AC/g)-√[2(h_AC-25)/g]=1s，解得h_AC=45m;

　　解四：由匀变速直线运动的推论v²-v₀²=2gh及自由落体运动的位移和速度公式来求，设下落的总时间为(t+1)s，如图1所示，则有v_B=gt，v_C=g(t+1)，而h_BC=25m，则有v_C²-v_B²=2gh_BC，即g²(t+1)²-g²t²=2g×25，解出t=2s，故物体下落高度为h_AC=½g(t+1)²=45m;

　　解五：由推论x=vt-½at²及v²=2ax来求。利用匀变速直线运动的速度公式v=v₀+at及位移公式x=v₀t+½at²可推出公式x=vt-½at²，用于图1所示的Z后1s，有h_BC=v_Ct_BC-½gt_BC²，解出v_C=30m/s，再由v_C²=2gh_AC，得h_AC=v_C²/(2g)=45m;

　　解六：由初速为零的匀加速直线运动，在相邻的连续相等的时间内的位移比公式来求，其公式为s₁：s₂：s₃：…：s_n=1：3：5：…：[2/(n-1)]，其中s_i为第i个相等时间内的位移。自由落体运动第1s内的位移s₁=½gt²=5m，第n个1s内的位移s_n=25m，在由s₁/s_n=1/(2n-1)解得n=3，即第3s内物体下落25m，故物体下落高度为h_AC=½gt²=45m;

　　解七：运用v-t图像求。图2中梯形abcd的“面积”在数值上等于物体Z后1s内下落的位移的大小，即h=25m，设下落的总时间为(t+1)s，则h=½(ab+cd)bc=½[gt+g(t+1)]×1解得t=2s，故物体下落髙度为h_AC=½g(t+1)²=45m。

　　通过以上解析，在求自由落体运动下落的高度时，对自由落体运动的基本公式及一些重要推论要熟练掌握，善于运用数学知识并结合v-t图像，巧妙地解决物理问题。这就要求教师在平时的教学中，有意识的培养学生重视物理概念、规律、公式、推论及运用数学知识解决物理问题的能力。