自由落体速度

一、自由落体速度猜测

　　伽利略认为，重物与轻物应该下落得同样快。他猜想落体运动应该是一种最简单的变速运动，物体的速度应该是均匀变化的。但是，速度的变化怎样才算是均匀的呢?他考虑了两种可能：一种是速度的变化对时间来说是均匀的，即v与t成正比;另一种是速度的变化对位移来说是均匀的，即v与x成正比。

　　数学推理

　　伽利略通过数学运算得出：如果v与x成正比，将会得到荒谬的结论;如果v与t成正比，它通过的位移x就与t²成正比。

　　实验验证

　　为了便于测量时间，伽利略设法用斜面做实验。他在木制斜槽上蒙上羊皮纸，让铜球从光滑的羊皮斜槽上滚下，通过上百次对不同质量的小球沿不同倾角的光滑斜面越大的定量研究，发现小球沿光滑斜面运动时通过的位移x确实与t²成正比，小球的运动是匀变速直线运动，且倾角一定不同小球的加速度一定，倾角越大加速度越大。

　　合理外推

　　伽利略将他在斜面实验中得出的结论做了合理的外推：设想斜面的倾角越接近90°，小球沿斜面滚下的运动就越接近于自由落体运动;当斜面的倾角达到90°时，小球就做自由落体运动。从而，自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动，且所有物体自由下落时的加速度都相同。

二、自由落体平均速度

　　平均速度

　　做变速运动的物体其位移与时间的比值不是恒定不变的，这时我们可以用一个速度粗略地描述物体在这段时间内的运动的快慢情况，这个速度就叫做平均速度。

　　自由落体平均速度公式

　　自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动，它的平均速度计算方法有：

　　1、自由落体平均速度=中间时刻的瞬时速度

　　2、自由落体平均速度=(初速度+末速度)/2=末速度/2

　　3、自由落体平均速度=gt/2

三、自由落体瞬时速度

　　瞬时速度

　　瞬时速度表示物体在某一时刻或经过某一位置时的速度，该时刻相邻的无限短时间内的位移与通过这段位移所用时间的比值 v=△x╱△t 。 瞬时速度是矢量，既有大小又有方向。瞬时速度是理想状态下的量。

　　自由落体瞬时速度的探索

　　1、伽利略的困惑

　　①伽利略发现：小球在斜面上滚下的距离S和所用的时间t之间有函数关系S(t)=at²，这叫做小球的运动方程，这里，a是与斜面的坡度有关的常数;

　　②伽利略的困惑：重力作用下在斜面上向下滚的小球，随着时间的增加，速度越来越快。但是，他只知道计算在一个时间段里的平均速度，却不知道如何计算小球在某一时刻的速度，即瞬时速度。

　　2、牛顿的思路

　　如果小球在斜面上向下滚动的运动方程是S(t)=3t²，要计算小球在开始运动2 s时的瞬时速度，不妨先看看它在2 s到2.1 s之间的平均速度，即在区间[2，2.1]上的平均速度，同理，可以计算[2，2.01]，[2，2.001]…和[1.99，2]，[1.999，2]，[1.999 9，2]……上的平均速度.仔细观察可以发现，在时间间隔不断的缩小的过程中，对应的平均速度无限地接近一个数值12。

　　3、结论

　　数学结论：时间段的长度趋于0时，这段时间内的平均速度就以12 m/s为这个极限数值，就是小球开始运动后2 s时的瞬时速度。

　　方法小结：①先计算出时刻t和t+Δt之间小球运动的距离，在除以时间段的长度Δt，求出平均速度;②让Δt趋向于0，得到小球在该时刻t的瞬时速度。

　　自由落体瞬时速度公式

　　平均速度公式v_平均=Δs/Δt，则v_平均={[½g(t+Δt)²]-½gt²}/[(t+Δt)-t] ，则v_平均=gt+½gΔt。Δt越小算的平均速度越接近瞬时速度。那干脆让Δt=0，则得到：

　　自由落体瞬时速度：v=gt